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【摘要】 不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的重要性已经在数学竞赛中得到了充分体现，而且也是培养学生思维能力的好教材。本文主要论述了一次不定方程在教学与实际生活中的应用。全文以二元一次不定方程为主要研究对象，探索一次不定方程的解的情况。掌握其求解过程，最终将一次不定方程应用到教学与生活中来，切实解决教学与实际生活中出现的不定方程问题。 paper51.com
【关键词】 不定方程 一次不定方程的解 整数解 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所谓不定方程是指未知数个数多于方程个数的整数方程，且要求它们的解是整数或正整数。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，其内容丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有紧密联系。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 二元一次不定方程作为最简单的不定方程，在教学与实际生活中应用广泛，具有极其广泛的意义。本文将以二元一次不定方程作为重点讨论对象，研究一次不定方程在教学与实际生活中的应用。 copyright paper51.com
一、 一次不定方程的解的情况及求解过程 http://www.paper51.com (一)、二元一次不定方程 http://www.paper51.com 定义1. 形如 (为整数)的方程称为二元一次不定方程。 copyright paper51.com 现在，我们就以二元一次不定方程为例，讨论它的解的情况。从而，得出其它元一次不定方程的解的情况。 http://www.paper51.com 定理1. 不定方程有整数解的充要条件是 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证明：假设二元一次不定方程有整数解，则 copyright paper51.com
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copyright paper51.com 又令,且，令 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 则，使，从而有 copyright paper51.com 即：为的解 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 由于,则，因此，我们只讨论的情况。由定理1.知，在不定方程有解的情况下，总可以假定 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 定理2. 若，且为 （1） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
的一组解，那么（1）的解都可表示为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （2） http://www.paper51.com
证明：由和，可知 内容来自www.paper51.com 即 （3） copyright paper51.com
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http://www.paper51.com 因此，可设 paper51.com 将代入（3）得，因此（1）的一切整数解可表 内容来自www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 经过验算，易知由（2）式给出的对所有整数都满足不定方程（1），称之为（1）式的通解，而则称（1）式的一组特解。 http://www.paper51.com
若是方程，的一组特解，则是不定方程的一组解。 http://www.paper51.com 下面，我们讨论一般情形下的二元一次不定方程解的求法。 copyright paper51.com 例1 求不定方程的所有整数解 http://www.paper51.com 解：∵， 内容来自www.paper51.com
∴原方程无整数解 paper51.com
例2 求的全部整数解 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 解：∵, 故原方程有整数解 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 由观察可得原方程的一组特解为 paper51.com 因此，原方程的所有整数解为 paper51.com
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