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一类行列式的计算方法 某某市师院理学院 数学与应用数学 陈国燕 2007011216
内容来自www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 指导教师 张丰硕
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内容来自www.paper51.com 摘要：行列式在高等代数课程中占有重要地位，行列式的计算是整个线性代数部分的一个重点和难点。计算行列式的方法很多，技巧性很强，难以把握。本文分析了一类比较复杂的，经常作为考研试题的行列式。这类行列式可以转化为Hessenberg型的行列式，利用Hessenberg型行列式的计算方法，我们给出了这一类型行列式的通用的计算方法和技巧。
内容来自www.paper51.com copyright paper51.com关键词：行列式 Hessenberg型行列式 计算方法
内容来自www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 行列式是数学中重要的基本计算工具之一，在高等代数课程中占有重要地位。行列式的计算技巧灵活，没有固定的方法，从而它的计算既是一个重点又是一个难点。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com我们知道，对于阶数不超过3的行列式，可直接利用定义计算。但是阶数较大且复杂的行列式用定义是几乎不可能的，只能利用行列的性质进行转化，然而行列式的性质较多，转化的技巧性很强，没有固定的方法。从而对于复杂的行列式，计算起来比较艰难。 http://www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 下面针对一类可以转化为称之为Hessenberg型行列式的行列式，给出其适用的计算方法和技巧。这类行列式的计算往往出现在各个高校的高等代数考研试题中。
内容来自www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 一、 Hessenberg型行列式的计算
内容来自www.paper51.com paper51.com 形如、、、（除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列的三条直线外的元素全为零）的三线型行列式叫做Hessenberg型行列式。 copyright paper51.com 内容来自www.paper51.com例如行列式：（1），
内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （2）。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com Hessenberg型行列式的计算是按行或按列展开，此处我们主要讨论展开能够得到递推公式的计算方法。在选择展开时，选择按只有两个非零元素的最后一列（行）或第一行（列）展开。
copyright paper51.com 内容来自www.paper51.com （1）解：按最后一列展开得 copyright paper51.com http://www.paper51.com = 内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com == http://www.paper51.com 内容来自www.paper51.com== copyright paper51.com paper51.com
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http://www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com = 内容来自www.paper51.com http://www.paper51.com （2）解：按第一列展开得 http://www.paper51.com 内容来自www.paper51.com
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paper51.com 内容来自www.paper51.com 二、 可转化为Hessenberg型行列式的行列式
http://www.paper51.com paper51.com 有一些行列式，相邻行(列)的元素大部分对应相等，从最后一行(列)开始，后行减前行（后列减前列）可以出现很多零元素，从而将行列式转化为上面的Hessenberg型行列式。
内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例1：计算n阶行列式
copyright paper51.com paper51.com， http://www.paper51.com copyright paper51.com解：自最后一行开始，后行减前行得（此时的行列时Hessenberg型行列式） http://www.paper51.com copyright paper51.com （按最后一列展开）
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paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com例2：计算n+1阶行列式
copyright paper51.com paper51.com paper51.com paper51.com 分析：此行列式具有行列式中相邻行的大部分元素对应相等的特征，且是例1 的变形，所以可以从最后一行开始，后行减前行转化为Hessenberg型行列式然后展开得递推公式来计算。 paper51.com http://www.paper51.com 解：自最后一行开始，后行减前行得（此时的行列式为Hessenberg型行列式） 内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com（按最后一列展开） http://www.paper51.com 内容来自www.paper51.com = copyright paper51.com http://www.paper51.com= 内容来自论文无忧网 www.paper51.com http://www.paper51.com = paper51.com paper51.com
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paper51.com http://www.paper51.com （按第一列展开） paper51.com 内容来自www.paper51.com = 内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com =
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copyright paper51.com 内容来自www.paper51.com = http://www.paper51.com http://www.paper51.com 下面的例4、例5来自于北大教材，题目比较难且技巧性较强。
内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com例4：计算n阶行列式
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内容来自论文无忧网 www.paper51.com paper51.com 分析：此行列式具有行列式中相邻行的大部分元素对应相等的特征，且是例2 的变形，所以可以从最后一行开始，后行减前行转化为Hessenberg型行列式，然后展开得递推公式来计算。
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paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 即 1 paper51.com http://www.paper51.com 由行列式的性质：行列互换，行列式不变。则有 http://www.paper51.com copyright paper51.com2
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内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ， copyright paper51.com 内容来自www.paper51.com 由递推公式1得
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copyright paper51.com copyright paper51.com 特别地，当时， http://www.paper51.com paper51.com内容来自www.paper51.com http://www.paper51.com 由递推公式1得
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paper51.com paper51.com例5：计算n阶行列式 内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com paper51.com paper51.com分析：此行列式中除对角线外，相邻行（列）的元素相差1 。相邻行相减会出现大量的1，这时候，我们可以将其类似于例4的行列式进行计算。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com paper51.com解：自最后一行开始，后行减前行得
内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （所有列都加到第一列） copyright paper51.com copyright paper51.com=（按第一列展开） http://www.paper51.com http://www.paper51.com=
内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com =。此时的类似于例4。
copyright paper51.com paper51.com 将中利用行列式的性质：交换两行（列），行列式反号。变为，
paper51.com 内容来自www.paper51.com 令例4中，直接利用例4 的结果可得：
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内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自www.paper51.com从而，
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http://www.paper51.com copyright paper51.com分析：此行列式的对角线上半部分相邻行（列）之间相差1，下半部分相邻行（列）之间全相等。它即具有相邻行（列）之间部分元素对应相等，部分元素相差1的特征。可以从最后一行开始，后行减前行将下半部分化为零上半部分出现很多-1，然后又从最后一列开始，后一列减前一列就可以转化为Hessenberg型行列式来计算。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com 解：自最后一行开始，后行减前行得
内容来自www.paper51.com http://www.paper51.com （从最后一列开始，后一列减前一列）
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内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com paper51.com 上面介绍了如何将一些行列式转化为Hessenberg型行列式来计算， Hessenberg型行列式来计算此处主要是利用递推公式计算。在递推的时候也有一些技巧在里面，这也是上面这种方法在运用中的一个难点。当然以上的这些例子计算方法并不是唯一的，还有其他计算方法。利用行列式的性质转化为Hessenberg型行列式来计算的方法也许不是最简单的计算方法，但在无从下手时可以启发思维，起到抛砖引玉的作用。 paper51.com 内容来自www.paper51.compaper51.com
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内容来自www.paper51.com 参考资料： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自www.paper51.com[1]《高等代数考研教案》 西北工业大学出版社 2006 copyright paper51.com paper51.com [2]王萼芳 《高等代数教程习题集》 清华大学出版社 1997.5月第一版 1-36
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内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com 致谢：本人在撰写毕业论文期间得到张丰硕老师的悉心指导并提供相关资料，在此衷心的感谢!
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内容来自论文无忧网 www.paper51.com A determinant calculation method
内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com Chen Guoyan 2007011216
内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自www.paper51.com Instructor : Zhang Fengshuo
内容来自www.paper51.com 内容来自www.paper51.com Yuxi Teachers College Faculty of mathematicsand applied mathematics copyright paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自www.paper51.com Abstract: Determinant in acollege algebra course occupies an important position, calculation ofdeterminant is a whole part of one of the main difficulties and linear algebra. A lot of methods for calculating thedeterminant, skillfulness isso strong that it is difficult to grasp. In this paper, analyzes the classcomplex determinant a kind of more complexthat often as adeterminant of articles by questions.This kind of determinant can be transformed into the determinant of Hessenbergtype, using Hessenberg type determinant of calculation method, we gave it a universal type determinant calculationmethods and techniques. 内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com Keywords: Determinant Hessenberg type determinant Calculation method
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