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引言 在中学数学学习过程中，我们把一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）变形成.并且得到当b2-4ac≥0时，方程有实数根. 且 内容来自www.paper51.com （1）当b2-4ac＞0时， 与不相等，所以方程有两个不相等的实数根： copyright paper51.com http://www.paper51.com （2）当b2-4ac＝0时，，所以方程有两个相等的实数根： paper51.com
x1=，x2= 内容来自www.paper51.com （3）当b2-4ac＜0时，原方程没有实数根. copyright paper51.com 由此可知，根据 b2-4ac的值我们可以判定一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况.我们把 b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式，用符号 “△”来表示.当判别式△＞0时，方程有两个不相等的实数根；△＝0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程没有实数根. http://www.paper51.com 一、 “△”在数学知识中的重要地位 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
⑴“△”与“韦达定理” 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
“韦达定理”，是中学代数中的一个重要内容，它虽然形式上很简单，但应用广泛.“韦达定理”是这样表示的：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1、x2，则 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com 在应用“韦达定理”求一元二次方程字母系数的取值时，其前提条件是使方程有实数根，即必须使字母系数的值满足Δ≥0，正如应用判别式时一定要考虑二次项系数，即对于ax2+bx+c=0(a＞0)，可按顺序求字母系数的取值.即判别式在应用“韦达定理”时是必不可少的前提. http://www.paper51.com a Δ “韦达定理” 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ⑵ “△”与二次函数 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由“△”决定，即△＞0时，有两个交点；△＝0时，有一个交点,或者说顶点在横轴上；△＜0时，没有交点. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ⑶“△”与一元二次不等式 paper51.com 解不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)时,考虑二次函数y=ax2+bx+c，不等式ax2+bx+c＞0即表示该函数的函数值是大于0，其图像应在x轴的上方.假如一元二次方程的判别式△=b2-4ac＞0,那么方程有两个不相等的实数根，即此抛物线的图像与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标分别对应方程ax2+bx+c=0的两个根，即,又因为此抛物线开口向上，要求ax2+bx+c＞0的未知数的解集，通过图形观察即可得到. paper51.com
这里巧妙地把一元二次方程、二次函数、一元二次不等式结合起来，把方程的根、函数值、图像联合起来，用图形的形式加以演化，形成求解一元二次不等式的一个表格：（a＞0） 内容来自www.paper51.com
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二次函数 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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的图象 http://www.paper51.com
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http://www.paper51.com 一元二次方程 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
copyright paper51.com 的根 内容来自www.paper51.com 有两实数根 copyright paper51.com
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有两相等 copyright paper51.com 的实根 copyright paper51.com
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无实数根 内容来自www.paper51.com 不等式 内容来自www.paper51.com http://www.paper51.com 的解集 paper51.com copyright paper51.com 内容来自www.paper51.com R paper51.com 不等式 http://www.paper51.com
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内容来自论文无忧网 www.paper51.com Φ 内容来自www.paper51.com Φ 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 二、 “△”在数学问题中的实际应用 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ⑴ 判断二次三项式能否在实数范围内分解因式 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 由高等代数的因式分解定理,对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0的根，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内分解因式. 即: △＜0时，不能在实数范围内分解因式；△≥0时，能在实数范围内分解因式.假设当△＞0时，方程的两个根分别为x1,x2,则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),进而当△=0时，ax2+bx+c=a(x-x1)2. http://www.paper51.com 例1、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2(m+2)x+(m+5)能在实数范围内分解因式？ copyright paper51.com 解：当△＝[-2(m+2)]2-4m(m+5) ≥0时，关于x的二次三项式mx2-2(m+2)x+(m+5)能在实数范围内分解因式，即 paper51.com
4(m2+4m+4)-4m2-20m≥0 paper51.com -4m+16≥0 http://www.paper51.com ∴ m≤4且m≠0 http://www.paper51.com 例2、若x2-2(k+1)x+k2+5是完全平方式，求k的值. 内容来自www.paper51.com
解：据题意，得 内容来自论文无忧网 www.paper51.com △＝[-2(k+1)]2-4(k2+5) ＝0 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 4(k2+2k+1)-4k2-20＝0 copyright paper51.com 8k-16＝0 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
k＝2 copyright paper51.com ⑵ 巧解方程 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
例3、求方程2x2-2xy+y2-2x+1＝0的实数解. http://www.paper51.com
解：将原式看成是关于x的一元二次方程，则方程可变形为 copyright paper51.com 2x2-2x(y+1)+y2+1＝0 http://www.paper51.com
△＝[-2(y+1)]2-4*2(y2+1) ≥0 http://www.paper51.com
化简得：（y-1）2≤0 但在实数范围内 （y-1）2 ≥ 0 内容来自www.paper51.com
∴y-1＝0 copyright paper51.com ∴y＝1 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 把y＝1 代入原方程得： x1＝x2＝1 内容来自论文无忧网 www.paper51.com |