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1．包络和奇解的概念 我们已经知道一阶微分方程在方向场中的轨线组成一种由单参数联系着的曲线族，它们在方向场中是一种有规则的分布。在一些一阶微分方程中，它的解都满足唯一性，但有一部分微分方程，它的解对应的积分曲线上的点的唯一性被破坏。下面我们就来看这种唯一性被破坏的情形，先看一个例子： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
例1 求解微分方程 copyright paper51.com 解：方程可写成 http://www.paper51.com 令，则方程化为 （1） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 等式两端对求导得 内容来自www.paper51.com
整理得 http://www.paper51.com 由，可以求得 （2） copyright paper51.com （2）代入（1）得 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所以方程的通解为 （3） paper51.com
又由，求得 paper51.com
代入（1）得 （4） 内容来自www.paper51.com 将代入原来方程验证，可知是方程的解，但并不包含在通解式（3）之内。 copyright paper51.com 联立（3）（4）两式 内容来自www.paper51.com 消去c得 内容来自www.paper51.com
由上可知，与通解中的任一条（对应任何的值）均有唯一的交点，如图1。（） http://www.paper51.com
paper51.com 图1 paper51.com 从图1中我们可以看到，与方程的通解中的每一条积分曲线都相切。因此我们可以得到：对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族中，但是，在这条特殊的积分曲线上的每点处，都有积分曲线族的一条曲线和它在此点相切。在几何中，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线的包络，在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为微分方程的奇。 内容来自www.paper51.com 下面，我们给出曲线族包络和微分方程奇解的定义： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 定义1 设给定单参数曲线族 http://www.paper51.com （1.1） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 其中是参数，对任意的是连续可微的。如果平面上有一条连续可微的曲线，并且曲线上任一点，都有曲线族（1.1）和曲线在这一点相切，则这条曲线称为曲线族（1.1）的包。 内容来自www.paper51.com 定义2 如果微分方程的一条积分曲线上的每一点都破坏解的唯一性，则这条曲线称为微分方程的奇积分曲线，它所对应的解称为微分方程的奇。 copyright paper51.com 定理1 微分方程的积分曲线族（1.1）的包络线是微分方程的奇积分曲。 paper51.com
证明：微分方程的积分曲线族（1.1）中的曲线在每一点都与线素场的线素相切，曲线上的每一点也与线素场上的每一点相切，所以曲线也是一条积分曲线。又因为，曲线上每一点至少有两条不同的积分曲线与线素场中的同一线素相切，这样就破坏了解的唯一性。因此，曲线是奇积分曲线。 内容来自www.paper51.com 由定理1，我们可以得到微分方程曲线族的包络所对应的解一定是微分方程的奇解。 http://www.paper51.com 下面我们来研究如何求微分方程的包络和奇解。 copyright paper51.com 2．奇解的寻求 copyright paper51.com 在求解微分方程中，我们不难发现并非所有的曲线族都有包络，并非每一方程都有奇解。例如，同心圆族，射线族等都是没有包络的曲线族的例子。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 2.1 判断微分方程是否存在奇解 内容来自www.paper51.com 定理2 （存在与唯一性定理）如果微分方程的右端函数在闭矩形区域上满足如下条件： paper51.com
（1）、在上连续； http://www.paper51.com （2）、在上关于变量满足利普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上任何一对点和有不等式 内容来自www.paper51.com paper51.com 则初值问题在区间上存在唯一解 copyright paper51.com ， paper51.com
其中，。 paper51.com 由定理2可知，假设微分方程的右端函数的定义域为。如果在上连续且在上有界（或连续），则这个微分方程存在唯一解，即在内一定不存在奇解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
例2 判断微分方程是否存在奇解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 解：方程右端函数在上有定义且连续， http://www.paper51.com 在上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性的区域为，显然为方程的解，并且上的每一点都有原方程通解中的一条曲线与它相切，所以为原方程的奇解。 paper51.com 从上面的分析，我们可以给出寻求微分方程奇解的步骤： paper51.com （1）、求出右端函数在区域上有定义且连续； copyright paper51.com
（2）、求在上有定义域且连续； copyright paper51.com
（3）、若，则方程无奇解： copyright paper51.com （4）、若，则验证（） http://www.paper51.com 是否为方程的解： 内容来自www.paper51.com a、若不是方程的解，则方程无奇解； 内容来自论文无忧网 www.paper51.com b、若是方程的解，则再验证唯一性：若中的每一点唯一性都不成立，则为方程的奇解，反之则不是。 copyright paper51.com 2.2 C-判别曲线 copyright paper51.com 定理3 若是曲线族的包络线，则它满足C-判别式 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
（2.1） 内容来自www.paper51.com 证明：在上任取一点，由包络线的定义，有中有一条曲线在点与相切，设所对应的参数为。 copyright paper51.com 因为在上，故有 paper51.com ……………（2.2） 内容来自www.paper51.com 在点的切线斜率为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 在点的切线斜率为 内容来自www.paper51.com
因为与在点相切，故有，即有关系式 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （2.3） 内容来自www.paper51.com 另一方面，在（2.2）式两端对求导得 内容来自www.paper51.com
（2.4） 内容来自www.paper51.com 联立（2.3）和（2.4）式得：无论、和、同时为零还是不同时为零的情况下，均有成立，即包络线满足C-判别式（2.1）。 copyright paper51.com 定理4 设曲线族的C-判别式为，确定一条连续可微的曲线，而且它满足非蜕化条件 内容来自www.paper51.com （1）； copyright paper51.com （2） http://www.paper51.com 则是曲线族的包络。 copyright paper51.com 证明：在上任取一点，则有 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com 成立，因为 paper51.com
即与不同时为零，所以对在点利用隐函数定理确定一条连续可微的曲线（或）它在点的斜率为 paper51.com ， copyright paper51.com
另一方面，在点的斜率为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 又再对求导得 内容来自www.paper51.com
（2.5） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
又由，则（2.5）式化为 （2.6） 内容来自www.paper51.com 因为、和、分别不同时为零，所以（2.6）式化为： copyright paper51.com
内容来自www.paper51.com 即曲线族中有曲线在点与曲线相切，因为是曲线族的包络线。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
通过上面的分析、讨论，我们就可以得到求微分方程的奇解的一种方法，其步骤为： paper51.com
（1）、求出微分方程的通解； http://www.paper51.com （2）、由C-判别式求出C-判别曲线； copyright paper51.com （3）、验证为曲线族的包络：将代入、和、。若、和、分别不同时为零，则为的包络，即奇解。反之，则不是。 copyright paper51.com
例3 求的奇解。 paper51.com
解：方程的右端函数，在全平面上连续，当时，用分离变量法可求得通解，为任意常数。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 由C-判别式，解得，. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 将，代入、和、，得到，，所以为原方程的奇解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 2.3 P-判别曲线 http://www.paper51.com 给定方程,当方程的解存在且唯一时，它在点的某一领域中满足：（1）、对所有变元连续且存在连续偏导数； 内容来自www.paper51.com
（2）、： paper51.com
（3）、. http://www.paper51.com 显然，当方程有奇解时，上面三个条件中至少有一个不成立。在由实际问题产生的一些微分方程中，条件（1）和条件（2）一般都能满足，而条件（3）却常常不成立。下面我们就来看条件（3）被破坏的情况，当条件（3）被破坏时，即得，其他条件保持不变，就使得解的唯一性可能不成。 http://www.paper51.com 联立方程，称为P-判别式。 paper51.com 由上述方程组消去，解出曲线，则曲线称为的P-判别曲线。 内容来自www.paper51.com |