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前言 生物的进化与演变，显示了它们之间的联系，自然选择的结果，决定了各种生物的特点，渔民扬帆下海，根据鱼群活动的规律，一网打捞起活蹦蹦的鱼数百成千，他们并没有一条一条的捕捉。数学的世界奇妙无比，数学题也象鱼那样数百成千，我们对待数学问题也一样要细心研究、对比归类，找出它们之间的联系和特点，这样，就可以象渔民那样“一网捕捞”成百上千，只要认真总结，即可发现：许多问题可以用一个公式计算；许多问题可以用一个或几个定理来推论；标准型问题已经有确定的解法，而不少问题又可以转化成标准型问题；只要识别清楚问题的类型，找出其中有利于解题的条件，经过思考找一种较方便、准确的方法来解题[2]。 paper51.com
下面我们来看一些有关于判别式在一元（二元）二次方程、最值问题、因式分解、几何方面、日常生活中的若干应用。 内容来自www.paper51.com 根的判别式：我们把称为一元二次方程的判别式，用它可以判断方程根的情况，并有 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 其逆定理也成立。 paper51.com 一 、在一元（二元）二次方程中的应用 paper51.com 在一元（二元）二次方程中，判别式可用来判定二次方程根的情况并进行求解，以及根据二次方程的根的情况来确定方程中的参数。 copyright paper51.com 例1：当m是什么实数时，方程 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ① 有两个相等的实数根； paper51.com ② 有两个不相等的实数根； paper51.com
③ 没有实数根。[1] copyright paper51.com 解：要方程有两个实根，必须 内容来自www.paper51.com
根据判别式 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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① 令 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ∴原方程有两个相等的实数根； 内容来自www.paper51.com ② 令 http://www.paper51.com 原方程有两个不相等的实数根； http://www.paper51.com ③ 令 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 原方程没有实数根。 内容来自www.paper51.com 小结：在做这样的题目时，它是让你根据根的情况来求m的值或范围是对判别式逆定理的直接应用，只要知道了这一点，就可以轻松解题了。 paper51.com 例2：求方程的实数解。 http://www.paper51.com 解：原方程整理为 内容来自www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com 即 http://www.paper51.com
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又， copyright paper51.com 在这样的情况下 ， ， 解锝y= -1。 copyright paper51.com
, 解得。 copyright paper51.com
故原方程的实数解为 。 内容来自www.paper51.com 小结：这是一个解二元二次方程的问题，这题共有6项式，而且系数都还有点大，让我们求实数解，别的条件什么都没有给出，如果我们用分解因式想把它分解成因式乘积的形式，可又不知道从哪里下手；用配方法也不好配，在这时，你要注意了，题目中说是求实数解，那是间接的指出了有根的情况，这时我们就应该想到用判别式，只要把方程整理成一元二次的形式，再用判别式来求解，题目就迎韧而解了。 http://www.paper51.com
二 、 在代数式中最值的问题 copyright paper51.com 在研究代数式值的变化范围或最值问题上，虽然研究的方法多种多样，其中判别式也是一种具有使用方便、应用广泛特点的方法。 内容来自www.paper51.com
例3：若x为实数，求的最大值和最小值。[3] http://www.paper51.com 解：设 copyright paper51.com
整理得 copyright paper51.com http://www.paper51.com copyright paper51.com
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， 解得 。 http://www.paper51.com
因此，原式的最大值为3，最小值为 。 copyright paper51.com 小结：这样的题在求最大值与最小值时，分子与分母仅相差一个正负号，但就是这样的题不容易化简，也不知从何入手，我们把它转化为一元二次方程的形式，因题目中已说出x为实数，那就是有根的情况可知，我们应用判别式就能快捷的求出原式的最大值和最小值了。 copyright paper51.com
例4：求[5] 内容来自www.paper51.com
解：令 内容来自www.paper51.com
copyright paper51.com 整理得 内容来自www.paper51.com ， ，解得 ， 内容来自www.paper51.com 但是 copyright paper51.com 由 copyright paper51.com 即 paper51.com
综合可知 ， ， 。 内容来自www.paper51.com
故有极小值6 ，极大值12 。 paper51.com
小结：这是关于三角极值的问题，解这样题型时，我们要选择比较简便的方法，避繁就简，这时用判别式就达到了此目的，但要注意“三角”的特点，注意“三角”的有关性质才能正确的解答。 paper51.com
三 、 在因式分解中的应用 paper51.com
我们知道，二次式因式分解的常用方法有提取公因式、公式法、十字相乘法，但有时用判别式能判别二次式在实数范围内能否因式分解。 paper51.com 例5：m为何值时，能分解成两个一次式的积。[3] 内容来自www.paper51.com 解： http://www.paper51.com
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判别式 paper51.com ① 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 要使 能分解成两个一次式的积，就要使①式是关于y的完全平方式。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ①式的判别式 http://www.paper51.com
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http://www.paper51.com 解得 ， 。 内容来自www.paper51.com
小结：在这二元二次6项式中，要求分解成两个一次式的积而求m的值，但m先不确定，也没有公因式可提，用十字相乘法也无从下手，这时你注意题目能分解成两个一次式的积，说明二次式有根，可知，这时就把思想转换成根的判别式。把二次式只需整理成一元二次的形式，求出它的判别式，判别式又是一个关于y的一元二次式了，要大于或等于0只能是关于y的完全平方式，这时只要再次运用判别式=0即可求出m的值了，在这样的形式的题，你只要想到应用根的判别式，就使复杂简单化，很方便求解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
例6：在实数范围内把多项式因式分解。 http://www.paper51.com 解： copyright paper51.com copyright paper51.com copyright paper51.com copyright paper51.com copyright paper51.com |