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引言：对于一道数学题目我们可以从不同的角度应用多方面的知识来分析、考虑、讨论它的求解或证明方法。“一题多想”可以帮助我们很容易地解决问题。这样我们就可以跳出常规的思维方式和解题方式，寻找到更简捷更巧妙的方法将问题解决。 copyright paper51.com 有一道不等式题目为：已知∈R.(R为全体实数) 求证： 。下面我们用多种方法来证明它。 paper51.com 证法一（分析缩放法）： paper51.com 证：若 A∈R，则 A。 http://www.paper51.com
有 。 内容来自www.paper51.com 要证明原不等式，只需证 ， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 只需证 ， 内容来自www.paper51.com
即证 ， copyright paper51.com 即证 ， http://www.paper51.com 即证 ，此不等式显然成立。 内容来自www.paper51.com
上述过程可逆，故原不等式成立。 内容来自www.paper51.com 小结：分析缩放法利用了不等式性质，当A∈R时，则 A。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
故本题可用进行放缩，再用分析法及其过程可逆使不等式获证。此法巧妙地利用了不等式的性质，简单、明了。 内容来自www.paper51.com 证法二（分类讨论分析法）： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证：（1）、当 时，原不等式显然成立。 内容来自www.paper51.com （2）、当 时，只需证 ， copyright paper51.com
只需证 ， copyright paper51.com 即证 ， paper51.com 即证 . 此不等式显然成立。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 上述过程可逆，故不等式成立。 http://www.paper51.com 综上（1）（2）得原不等式成立。 copyright paper51.com 小结：分类讨论分析法是将无理不等式转化为有理不等式来加以证明。但在转化过程中，即不等式两边同时平方时，需要考虑不等式两边的符号，分类讨论。此法是很常规常用的证明不等式的方法。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证法三（综合缩放法）： copyright paper51.com
证：因为 ， 内容来自www.paper51.com ， http://www.paper51.com ，又因 http://www.paper51.com
所以 。 内容来自www.paper51.com 所以原不等式成立。 内容来自www.paper51.com
小结：综合缩放法，从不等式的右端出发，利用二元均值不等式进行缩放，来加以证明原不等式。均值不等式在不等式的求解和证明中经常用到，但利用均值不等式时必须注意均值不等式的三个条件，即正、等、定。此法简捷，易懂。 paper51.com
证法四（作差比较法）： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证：当 时,不等式显然成立。 copyright paper51.com 当 时，将原不等式两边平方后作差， http://www.paper51.com 由 copyright paper51.com 所以 ， http://www.paper51.com 即 。 http://www.paper51.com 综上所述，原不等式成立。 http://www.paper51.com 小结：作差比较法是我们在证明不等式时应最先想到的方法。它通俗易懂。其过程是用不等式的一端作为被减数，另一端作为减数作差，若所得的差值大于零，则被减数大于减数，即不等式作为被减数的一端大于作为减数的一端。否则反之。若差值为零，则说明不等式两端相等。 copyright paper51.com 证法五（母函数法）： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
证：（1）、当 时，原不等式显然成立。 内容来自www.paper51.com
（2）、当时，不等式两边平方得 内容来自www.paper51.com ， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 令：， copyright paper51.com
， copyright paper51.com 对恒成立。 内容来自www.paper51.com 1、当时，有且，此时不等式显然成立。 内容来自www.paper51.com 2、当时，因为对恒成立。所以的判别式 ， paper51.com
得， 内容来自www.paper51.com
。 paper51.com 由（1）（2）得原不等式成立。 http://www.paper51.com 小结：母函数法中，我们从不等式的式子结构出发，变形为 内容来自www.paper51.com ，此不等式的式子结构与一元二次方程判别式的结构相似。于是我们联想到了构造二次函数。利用对于恒成立的充要条件来说明。此法将不等式和函数结合在一起，充分说明了不等式与函数之间的联系十分紧密。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证法六（三角代换法）： paper51.com
证：设， ， 内容来自www.paper51.com 则可令 paper51.com 则， http://www.paper51.com
， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 而 ， http://www.paper51.com ， copyright paper51.com 故原不等式成立。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 小结：三角代换法是利用三角代换，将代数不等式化为三角不等式来加以证明，其中代换过程，即“所令”是关键。此法巧妙地转换，使证明过程很简捷易懂。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证法七（三角代换作商比较法）： copyright paper51.com 证：（1）、当时，即或，此时不等式都有，原不等式显然成立。 paper51.com （2）、当时，只需证 http://www.paper51.com ， http://www.paper51.com 只需证 ---------1， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 和 ， paper51.com 令： paper51.com ， paper51.com 将所令代入1式得 copyright paper51.com ， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
即 ，此不等式显然成立。 内容来自www.paper51.com 上述过程可逆， paper51.com |