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引言 矩阵是线性代数的核心,矩阵的运算及理论贯穿线性代数的始终.除线性代数外,大量的各种各样的问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究的对象. 内容来自www.paper51.com 矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个概念,在矩阵的各种运算中,矩阵乘法运算相对来讲比较复杂,计算量比较大.形如:是矩阵,是矩阵,那么的乘积是矩阵,即作矩阵、的乘积时,就要进行次运算.低阶方阵在作低次幂运算时,直接按照矩阵乘法定义[1]运算是可行的,但是随着方阵的阶数变大及次数增高,要计算出其结果就非常困难,并且计算过程中出错的概率也会大幅度上升,而任何一步计算过程的出错必将导致最终结果的错误.本文就这类问题进行了探讨,并给出了五种简便可行的计算阶方阵次幂的方法及典型实例.文中,,,,,均为正整数,表示阶方阵,表示方阵的转置,表示同阶的单位矩阵. 内容来自www.paper51.com 一、利用递推归纳法计算方阵的高次幂 copyright paper51.com 观察矩阵本身的特点,根据矩阵乘法的定义,计算出,从中发现元素内在 paper51.com 的规律,写出通项公式,再用数学归纳法证明结论. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
例1[2] 计算,并利用这个结果计算. 内容来自www.paper51.com 分析：本题如果直接按照矩阵乘法的法则进行计算是很难算出结果的,而且计算量很大.但是观察题目之后,发现矩阵的元素都是三角函数,根据矩阵乘法的法则,再利用三角函数的和、差公式进行中间的变换,那么矩阵元素中存在的规律就显而易见,而且计算方阵的高次幂也相对简单了. 内容来自www.paper51.com 解:设,则 http://www.paper51.com http://www.paper51.com paper51.com 猜想： paper51.com 下面用数学归纳法证明. 内容来自www.paper51.com (1)当时,由题设知成立. 内容来自www.paper51.com (2)假设时成立,即 copyright paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 则当时, 内容来自www.paper51.com paper51.com 综上所述,对于一切正整数,恒成立. paper51.com
把矩阵变形为矩阵,利用上面的规律,有 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
http://www.paper51.com 评注：本题只需要熟练掌握了矩阵乘法的运算法则及其三角函数的和、差公式,在计算出之后就能轻易地发现内在的规律,再用数学归纳法证明其结论.计算矩阵,主要是对矩阵进行等价变形,然后利用上述的规律即可求出结果.数学归纳法是解数学题目最常用的方法之一,在计算方阵的高次幂时,只要方阵的高次幂存在规律,且此规律容易发现,就可以利用数学归纳法证明其结果. paper51.com
二、利用相似对角法求解方阵的高次幂 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 若方阵可对角化,即存在可逆矩阵,使,那么就可以利用相似对角法求解.如果对左乘一个,然后再右乘一个,得,那么 内容来自www.paper51.com paper51.com 从而计算就转化为计算对角矩阵与可逆矩阵.为了求出可逆矩阵及对角矩阵,可先求出方阵的所有特征值与相应的特征向量. copyright paper51.com
设是方阵的个特征值,相应的特征向量为,且 内容来自www.paper51.com 线性无关,则. 内容来自www.paper51.com 于是.最后根据矩阵乘法计算. 内容来自www.paper51.com 例2[4] 设,求. 内容来自www.paper51.com
分析：首先利用矩阵可对角化的条件（常用的有两个：一是级矩阵有个不同的特征值；二是级矩阵有个线性无关的特征向量.）判断方阵是否可对角化,若可对角化,则求出它的特征值及相应的特征向量,然后求出即可. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 解:因为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
所以的特征值为. copyright paper51.com 对于,解齐次线性方程组 http://www.paper51.com
得,其中是自由未知量. 内容来自www.paper51.com 其特征向量为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 对于,解齐次线性方程组 内容来自www.paper51.com 得 copyright paper51.com 其特征向量为 paper51.com 令,则 copyright paper51.com
设,故 paper51.com
因为,所以.从而 copyright paper51.com
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评注：方阵可对角化,只需求出它的特征值及相应的特征向量,从而可以求出的 paper51.com
相似对角阵,由此求就转化为求的对角阵及,这样一来,问题的解决就简便了.用此方法解阶方阵次幂的前提是,方阵必须可对角化,否则,不宜用此方法解方阵的幂.对于一般的方阵,可以利用下列定理来解方阵的幂: paper51.com 定理[3] 每个方阵必相似于一个形如,其中为 copyright paper51.com
Jordan块的Jordan矩阵.其中的Jordan块完全取决于的初等因子组,Jordan块的特征值恰为的特征值,矩阵称为的Jordan标准形. copyright paper51.com 如果方阵的特征值是复数,同样可以求出相应的特征向量进行计算,只是此时的 http://www.paper51.com 运算均需在复数域中进行. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com |