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前言 “数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。数形结合思想应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所谓数形结合[1]，就是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，使抽象思维和形象思维有机的结合起来的思想就是数形结合思想。著名数学家华罗庚说：数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直观，形缺数时难入微。美国数学家斯蒂恩说：如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么就在思想上整体的把握了问题，并能创造性的思考问题的解法。由此可见数与形是相互联系的整体，把数和形结合起来运用就是数形结合思想。 paper51.com
数形结合思想是数学解题中常用的思想方法，数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便可迎刃而解，且解法简捷。但在数形结合思想中的数与形的转化过程中，要注意代数性质与几何性质的等价性，否则数形结合思想会显漏洞。 内容来自www.paper51.com 三角函数的图像与性质是高考中必不可少的内容之一，它是学习数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具。在学习三角函数时要充分运用数形结合的思想，把图像与其性质结合起来，例如：由单位圆上三角函数线的性质来理解三角函数的性质。与此同时，也要能根据函数的性质来描绘出函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。数形结合的思想方法在三角函数中的应用十分广泛，常见的如：解三角方程和解三角不等式，求三角函数的最值，求三角函数的定义域与值域等，运用数形结合思想，不仅直观而且易于发现解题途径，而且能有效的避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。 copyright paper51.com
结合自身的教育实习经验，我总结出数形结合思想可以有以下作用：用形记忆公式、审视联系解题、联想构造解题。 paper51.com 下面我们通过具体的一些实例来加以说明。 copyright paper51.com
一.利用图形记忆公式：即通过图形来轻松记忆一些公式和公式之间的关系，在记忆方面可以达到事半功倍的做用，下面我们来看两个例子。 内容来自www.paper51.com
例1.利用六边形记忆弦切割之间的关系。 内容来自www.paper51.com
copyright paper51.com 六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例2.利用三角形记忆三角函数中的万能公式。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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如图令角C大小为α，AB边长为2tan(α/2)，BC边长为1-[tan(α/2)]^2，AC边长为1+[tan(α/2)]^2，则可得万能公式：tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2}，sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2}，cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}。结论：通过上面的两个例子我们应该觉得利用图形辅助记忆可以让我们记忆起来更轻松，从而解决死记硬背的烦恼。 paper51.com 二、坐标联系：即通过建立坐标系（直角坐标系、极坐标系、复平面等）达到数形互化，在三角函数中，主要体现在直角坐标系中单位圆与三角函数线的运用，下面我们通过几个例题来说明坐标联系思想在三角函数中的运用。 paper51.com 例3.如果，那么函数的最小值是多少？ 内容来自www.paper51.com
分析： 内容来自www.paper51.com 从三角函数的角度来看，求的最小值是一个较难的问题，是一个比较陌生的问题。但是，如果把数和形结合起来，画出相应的图像，从几何的直观性入手，则可立刻看出结论。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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因为，所以 copyright paper51.com
则 copyright paper51.com
图像为图中实线部分。 http://www.paper51.com 所以当即时，有最小值，且最小值为。 paper51.com 结论:通过本题的解法可知道数形结合的简捷性、直观性，能够达到事半功倍的效果。 http://www.paper51.com
例4已知为锐角，求证： http://www.paper51.com （1）< （2）<1 copyright paper51.com
证明：（1）设角的终边与单位圆交于P（x,y）如图所示，过点P作PM⊥OM，PN⊥ON,M、N为垂足 paper51.com ∵ (单位圆中) 内容来自www.paper51.com copyright paper51.com copyright paper51.com
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∵四边形OAPB被扇形OAB所覆盖 paper51.com ∴ 即： copyright paper51.com ∴ 内容来自www.paper51.com （2）∵0< x < 1 0< y < 1 copyright paper51.com ∴0 < < 1 0 < < 1 http://www.paper51.com 又∵函数 (0<a<1)在R上是减函数 内容来自www.paper51.com ∴ 内容来自www.paper51.com
∵ copyright paper51.com ∴ paper51.com 结论：通过本例可知，用数形结合的思想解题，直观可靠，解题速度快，容易使学生理解。 paper51.com |