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摘要：数列通项公式的求解往往是解决数列难题的关键点。本文主要利用母函数的方法推导 copyright paper51.com 出二阶、三阶等差数列和二阶等比数列的通项公式，使与之相关的一些复杂的问题求解简单 内容来自www.paper51.com 化，有法可循。 paper51.com 关键字：递推数列; 通项公式; 母函数 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
递推数列和母函数的相关知识 copyright paper51.com
1、递推数列的定义： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 一个数列{}如果给出这前k项（称为初始值）以及递推关系式（称为递推式），那么这个数列就被确定了，由这种方式确定的数列就称为递推数列。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
2、母函数的定义： copyright paper51.com 给出数列： （1） 内容来自www.paper51.com
构造如下一个形式幂级数： http://www.paper51.com （2） http://www.paper51.com
我们把形式幂级数（2）叫做数列（1）的母函数。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 注：数学分析中的幂级数要考虑敛散性，而我们这里不研究敛散性，只是从形式上来研究，因此把（2）式称为形式幂级数。 copyright paper51.com 3、应用母函数方法，需要在母函数之间进行运算，为此对于形式幂级数作如下规定： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （1） 设，，当且仅当时，； 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （2） 设，，若，则； http://www.paper51.com （3） 设，A为常数，若，则； paper51.com （4） 设，，若，其中，则； copyright paper51.com （5） 设三个形式幂级数若,则称为除以的商，记为 。 paper51.com 注：以上规定表明，形式幂级数可以像多项式那样进行四则运算。由于形式幂级数我们并不十分关心它的敛散性，因此也不计较上述规定运算的合理性。 内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 1. 二阶等差数列、三阶等差数列通项公式的推导及应用 paper51.com 用母函数方法求数列的通项公式，首先由数列的递推关系出发，构造它的母函数，然后设法把表示为形式幂级数，即 copyright paper51.com ， copyright paper51.com
则形式幂级数的项的系数就是该数列的通项公式。 内容来自www.paper51.com 1.1：高阶等差数列的定义 内容来自www.paper51.com
一个数列从第二项起，逐次后项减去前项，便得到一个新的数列 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
，称为的一阶差数列；若为常数列，则称数列 http://www.paper51.com 为一阶等差数列。对数列又逐次后项减去前项，得到新数列，称数列为二阶差数列；若为常数列，则称为二阶等差数列。类似可定义阶等差数列。当时称为高阶等差数列。 paper51.com 1.2 二阶等差数列通项公式的推导过程 http://www.paper51.com 二阶等差数列的递推关系式为：，其中： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ,（这里的是指递推数列相邻两项两两二次作差后得到的常数，） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 令 http://www.paper51.com
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paper51.com 内容来自www.paper51.com paper51.com 即 http://www.paper51.com ，代入并化简得 paper51.com paper51.com
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copyright paper51.com copyright paper51.com 内容来自www.paper51.com 于是，我们得到 http://www.paper51.com
二阶等差数列的通项公式为： http://www.paper51.com 1.3 三阶等差数列通项公式的推导过程 http://www.paper51.com 三阶等差数列的递推关系为：, 其中： http://www.paper51.com ,（这里的是指递推数列相邻两项两两三次作差后得到的常数，） http://www.paper51.com 令 paper51.com paper51.com
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三阶等差数列的通项公式为： paper51.com 注：比较二阶、三阶等差数列的通项公式，可以归纳写出k阶等差数列的通项公式为： copyright paper51.com
http://www.paper51.com copyright paper51.com 1.4 二阶、三阶等差数列通项公式的应用 http://www.paper51.com 例1. (2009—云南公考—1) 已知数列 -1，1，5，11，19，29,… , 求数 http://www.paper51.com 列的通项公式。 内容来自www.paper51.com 分析：要使用推导出的公式求所给数列的通项公式，首先要判断该数列是几阶等差数列，如下： copyright paper51.com -1 1 5 11 19 29 … 两两做差 paper51.com
2 4 6 8 10 … 一阶差数列 copyright paper51.com 2 2 2 2 … 二阶差数列 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 可以看出该数列为二阶等差数列 paper51.com 解：二阶等差数列的通项公式为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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将，，代入上式得 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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