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前言 数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位。从《九章算术》的“析理以辞，解体用图”，到现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所谓数形结合[1]，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法. 数形结合思想的实质[1]就是：将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂的问题简单化、抽象问题具体化，将抽象思维转化为形象思维，从而有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合，因此，掌握数形结合思想有非常重要的实际意义，我们要争取做到“胸中有图，见数思图”. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 数形结合思想是数学解题中常用的思想方法，数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便可迎刃而解，且解法简捷. 但在数形结合思想中的数与形的转化过程中，要注意代数性质与几何性质的等价性，否则数形结合思想会显漏洞. 三角函数的图像与性质是高考中必不可少的内容之一，它是学习数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具. 在学习三角函数时要充分运用数形结合的思想，把图像与其性质结合起来，例如：由单位圆上三角函数线的性质来理解三角函数的性质. 与此同时，也要能根据函数的性质来描绘出函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法. 数形结合的思想方法在三角函数中的应用十分广泛，常见的如：解三角方程和解三角不等式，求三角函数的最值，求三角函数的定义域与值域等，运用数形结合思想，不仅直观而且易于发现解题途径，而且能有效的避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程. http://www.paper51.com 结合自身的教育实习经验，我总结出要实现将数形结合思想可通过以下三个途径：坐标联系、审视联系、构造联系. 内容来自www.paper51.com 下面我们通过具体的一些实例来加以说明. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 一、坐标联系：即通过建立坐标系（直角坐标系、极坐标系、复平面等）达到数形互化，在三角函数中，主要体现在直角坐标系中单位圆与三角函数线的运用，下面我们通过几个例题来说明坐标联系思想在三角函数中的运用. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例1 将函数() 的图像按向量平移，平移后的图像如图所示，求平移后图象所对应函数的解析式 paper51.com 解析：将函数()的图像 按向量平移，平移后的图像所对应的解析式为 paper51.com 要求出解析式，只要求出的值即可，由平移后的图像可知： http://www.paper51.com ∵ copyright paper51.com ∴=2 内容来自www.paper51.com 所以平移后的图象所对应函数的解析式为： paper51.com 小结：通过本例可知，数学结合的思想是数学思想中重要的方法之一，是一种间接解决问题的方法，解决数学问题中的关键在于转化，把函数转化为适当的几何图形，再用几何图形相应的性质来求解几何图形的相关问题，从图形的直观特征来发现数量之间存在的联系，从而化难为易、化繁为简，以达到事半功倍的效果. copyright paper51.com 例2 求在怎样的区间里满足 paper51.com 分析：本题若根据绝对值的概念来解，是较复杂的，结合三角函数线的性质，可知，在单位圆中=|OM|；=|MP|故本题应满足的条件既是的余弦线比其正弦线长. copyright paper51.com 解:如图，由平面几何知识，显然满足条件的角的终边落在图中阴影部分. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
∴----------------------------------------（1） http://www.paper51.com 或----------------------------------------（2） copyright paper51.com
∴由（2）得----（3） copyright paper51.com 由（1）、（3）两式知： copyright paper51.com 故在（，）中满足 内容来自www.paper51.com 小结：从例题中可看出，因三角函数线的量数等于三角函数值，三角函数线的长度等于三角函数的绝对值，从而使有关三角函数及其绝对值的问题转换为几何问题，利用平面几何知识解决，使解法直观、自然. paper51.com 已知为锐角，求证： 内容来自www.paper51.com （1）sin+cos< （2） http://www.paper51.com 证明：（1）设角的终边与单位圆交于P（x,y）如图所示，过点P作PM⊥OM，PN⊥ON,M、N为垂足 内容来自www.paper51.com ∵ (单位圆中) paper51.com http://www.paper51.com
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paper51.com ∵四边形OAPB被扇形OAB所覆盖 copyright paper51.com ∴ 即： http://www.paper51.com ∴ 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
（2） ∵ paper51.com ∴ copyright paper51.com
又 ∵函数(0<a<1)在R上是减函数 内容来自www.paper51.com ∴ paper51.com ∵ 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ∴ 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 小结：通过本例可知，用数形结合的思想解题，直观可靠，解题速度快，容易使学生理解. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 二、审视联系：即用几何的眼光、思想体察分析数式，从而达到数形互化，看下面例题： paper51.com 已知：， copyright paper51.com 求：、的值 内容来自www.paper51.com 分析：这道关于三角函数的题，若采用一般方法，计算较复杂，若从他的几何意义上讲，联想到终点坐标公式，则可转化成解析法求解，显得简便 内容来自www.paper51.com 解：如图，在单位圆上取点 内容来自论文无忧网 www.paper51.com A（），B（） http://www.paper51.com 则线段AB的中点为M（m,n）且AB⊥OM 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
因为 所以 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所以直线AB的方程为： copyright paper51.com
---------------------------------------------（1） 内容来自www.paper51.com 又∵ ----------------------------------------------（2） copyright paper51.com 由（1）、（2）消去y得： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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由维达定理可知： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 同理：由（1）、（2）消去x得： http://www.paper51.com
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