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最值是一个整体概念，三角函数研究的功能是把角的变化与函数值的变化紧密联系起来，我们知道函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质性和约束关系的一种描述。由于角的变化与相应函数值的相依关系，可以利用函数来研究角，即利用函数思想解决三角问题。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
研究三角函数的最值问题[1]，其方法与求三角函数值域的方法类似。一般先通过三角恒等变换，使目标函数变量归一，函数名称归一，然后利用基本函数的值域，求得原函数的最大值与最小值。在实际操作过程中，要注意换元法的应用并注意函数定义域的限制。 内容来自www.paper51.com 关于型三角函数式的最值，可以由三角函数的性质直接求出，如 ； 内容来自www.paper51.com ； copyright paper51.com 与在定义域内无最值。 内容来自www.paper51.com 关于三角函数与常数经加、减、乘、除、乘方、开方运算所组成的三角函数式之最值问题[3]，常常要归为一次函数、二次函数、分式函数、无理函数的条件最值问题或对角给以约束条件的最值问题。而对最值问题所附加的约束条件常有三角函数的值域暗中给出。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 求解三角函数最值问题的基本思想[4]： http://www.paper51.com 1、认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 2、根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤，具体可考虑：①将函数式化成或 形式，再利用正弦函数的有界性求出最值；②通过换元，将函数解析式化成二次函数、二次方程进行求解，需要注意的是，在换元后，要注意新变元的取值范围；③转化为可利用不等式性质，均值不等式来求解的问题；④转化为可利用函数的单调性来求解的问题；⑤改变主元，视函数为辅元，从而通过判别式法来分析的最值问题；⑥化归为可利用几何解释来解决的问题。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 3、通常可考虑降次，积化和差与和差化积、引入辅助角、万能代换、换元、配方而对函数式进行变形或转化。 内容来自www.paper51.com
一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题 copyright paper51.com
例1：求函数＝的最值 内容来自www.paper51.com 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。 paper51.com 解： （1）当在第一象限时，有 paper51.com （2）当在第二象限时，有 paper51.com
（3）当在第三象限时，有 http://www.paper51.com （4）当在第四象限时， paper51.com 综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2. http://www.paper51.com 说明：在这里首先可以观察到函数式的特点，不需要对它进行什么变化，并且没有什么条件限制，所以只须对它分象限说明即可。 copyright paper51.com
二、直接应用三角函数的有界性（）解题 内容来自www.paper51.com 例1：（2003北京春季高考试题）设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于（ ） paper51.com （A）（B）（C） （D）-2 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 解析：由于的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数的最大值与最小值分别为,,即＝+（）=-2,选D. http://www.paper51.com
说明：此函数式中只含有，而也没有区间限制，所以根据不等式，在此不等式基础上进行变形可得的取值范围，也就是的取值范围。 copyright paper51.com 例2：求的最值（值域） copyright paper51.com
分析：此式是关于的函数式，通过对式子变形使出现的形式，再根据来求解。 copyright paper51.com
解：，即有 内容来自www.paper51.com
。因为， 内容来自www.paper51.com 所以 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 即 copyright paper51.com 即，所以原函数的最大值是，最小值是。 http://www.paper51.com
说明：此题通过变形可转化为解不等式，这样就与解不等式联系起来了。所以本题的关键就在于要会解这个不等式中的取值，从而与不等式的解法相联系起来，此外也可以用分离常数法，即将原式变形为，同样也是根据而求得，其实这两种方法在本质上是一样的。 paper51.com 三、利用数形结合 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例：求的最大值与最小值 copyright paper51.com
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解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式将原式中的看作是定点与动点连线的斜率，而动点满足单位圆，如上图所示。所以问题可转化为求定点到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得： 内容来自www.paper51.com ， copyright paper51.com 四、利用三角函数的单调性法 http://www.paper51.com
例1：(1996全国高考试题)当，函数的最值 (A)最大值是1，最小值是－1 (B)最大值是1，最小值是 (C)最大值是2，最小值是－2 (D)最大值是2，最小值是－1 paper51.com 解析：在本题函数表达式中,既含有正弦函数又含有余弦函数, 自然首先应考虑能否将函数表达式化为只含有正弦函数或只含有余弦函数的表达式.即函数，因为，所以，当时，函数有最小值 －1,最大值2，选择D 内容来自www.paper51.com 例2：求的最值及对应的集合 copyright paper51.com 分析：观察式子可知它并不能直接求出，须通过变形为，但也不符合用平均不等式求，考虑用单调性。 http://www.paper51.com 解答：令，则，且设= paper51.com 上单调递增，所以 http://www.paper51.com 当时， ，此时， http://www.paper51.com 当时，，此时， copyright paper51.com 五、可化为一次函数，的条件极值的三角函数式极值求法 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例1：求函数 的极值 copyright paper51.com 分析：由，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求, ，其中,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。 http://www.paper51.com
解： 1）当时, ； paper51.com 2）当时, ； http://www.paper51.com 说明：在这里因为函数式中出现参数，这里须对做分类讨论，即分大于零与小于零的情况，然后再对正弦函数取值求出最值。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例2：求函数的最值，其中。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 分析：在这里不能将它变形为关于或为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即，，，然后代入化简得到即可求出。 http://www.paper51.com 解：因为 其中，且， http://www.paper51.com
http://www.paper51.com 在这里 内容来自www.paper51.com 说明：当函数式里只出现或，通过变形最终可化为或者的形式，再根据的取值来确定最值，但如果式子里还含有参数的话，若有影响需对参数进行分类讨论即可。 内容来自www.paper51.com |