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一道平面解析几何题的九种解法

[引  言]:一题多解,就是启发和引导学生从不同的角度,不同思路,运用不同的方法和不同的运算过程,解答同一道数学题。它属于解题的策略问题。教学中积极,适宜地进行一题多解的训练,有利于充分调动学生思维的积极性,提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧;有利于锻炼学生思维的灵活性,促进学生知识和智慧的成长;有利于开拓学生的思路,引导学生灵活地掌握知识之间的联系,培养和发挥学生的创造性,还可以密切数学各分科之间的联系,可加深对重要定理,性质,公式的认识。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com

有一道解析几何题:

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定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M,求

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点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标。

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(方法一),利用基本不等式求解 paper51.com

解:设A(,),B(,  ),据题意有:

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,      ① 内容来自论文无忧网 www.paper51.com

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   =   ②

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线段AB的中点M到y轴的距离为:

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=

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==3时取等号,有

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此时 内容来自论文无忧网 www.paper51.com

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由此可以解得M点的纵坐标 内容来自www.paper51.com

M点到y轴的最短距离为,此时M点的坐标为 copyright paper51.com

分析:此方法是以A,B坐标为参数,列式后再根据基本不等式(其中a>0,b>0) 内容来自www.paper51.com

来求出最小值,进一步得到M点的坐标,此方法计算量稍大,在此方法中一定要注意,在运 http://www.paper51.com

用基本不等式时,必须保证a>0,b>0.

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(方法二),判别式法

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解:设A(),B(,),则有

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,      ① 内容来自www.paper51.com

 ② 内容来自论文无忧网 www.paper51.com

AB中点M到y轴的距离为:   ③

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由②得 paper51.com

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即 

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为实数,故,由此得 copyright paper51.com

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,即 paper51.com

时,,由④得 copyright paper51.com

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M点纵坐标

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M点到y轴的最短距离为,此时M点的纵坐标为

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分析:此方法是以A,B坐标为参数,列式后用判别式法来求最值,此方法与方法一的不同之 内容来自www.paper51.com

处是在求最值时运用了判别式法。此方法的关键是构造方程

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是实数,且分别是A,B两点的纵坐标,此方程有解,故http://www.paper51.com

由此进行求解。

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(方法三),参数法 内容来自论文无忧网 www.paper51.com

解:设A,B,中点M,根据题意有

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由(1)得……,由(2),(3)得……(5)将(2), 内容来自论文无忧网 www.paper51.com

(3),(5)代入(4)得

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,当=时,即时,有 http://www.paper51.com

M到y轴的最短距离为,此时点M的坐标为

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分析:此方法是将抛物线上的A,B两点用参数表示,根据题义,列出相关的方程组,进

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行求解,此方法中参数个数由方法一,二中的四个减少为二个,使数式简化,解题步骤也随之

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简化.此方法中仍用到基本不等式.

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(方法四),利用三角计算式来求解

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解:设A点坐标为,B点坐标为,如图, paper51.com

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设直线AB的倾斜角为a,引AH⊥x轴,与过B点的x的平行线交于H, 内容来自论文无忧网 www.paper51.com

在RtΔABH中 paper51.com

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  ①,又 内容来自论文无忧网 www.paper51.com

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解①②得 内容来自www.paper51.com

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,即时,等号成立,此时,

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,所以M点到y轴的最短距离为,M点的坐标为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com

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参数,利用三角计算的方法来求解,此方法还用到基本不等式内容来自www.paper51.com

此方法中要注意三角之间的转换,如之间的转换,还需要注意

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