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引言 无理不等式是根号下含有未知数的不等式，也叫做根式不等式，包含在代数不等式中。解无理不等式是中学数学的一个重要内容，求解无理不等式的常规思路是利用平方法将无理不等式转化为有理不等式进行求解，以解脱根式的纠缠和困扰，但与此同时需严格注意不等式两边的符号，往往运算繁琐冗长，若我们细心观察，抓住题目特征，因题定法，选择合理的途径，从而优化解题过程，提高解题效率。下面就中学中常见的无理不等式的解法并对相关例子加以分析和说明，同时用相关例子呈现其常见的解法。涉及到的方法有常规解法，数形结合法，补集法，代换法，利用方程的解求无理不等式等解法，其中在常规解法中利用了3个例题加以说明，在数形结合法中利用了3个例题加以说明，在补集法中利用了2个例题加以说明，换元法中利用了3个例题加以说明，最后用了2个例题分析了用方程的解解无理不等式，下面就这五种解法逐一分析和说明。 http://www.paper51.com 一、无理不等式的常规解法 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例1、解不等式. paper51.com
解：将不等式两边平方得 http://www.paper51.com
copyright paper51.com 由中必需满足 http://www.paper51.com 当时，显然成立，故原不等式的解集是： http://www.paper51.com 评析：此类题目若用分类讨论法来解答，则显得繁杂.此类不等式的简洁解法是 copyright paper51.com 转化为等价命题，即利用同解原理加以求解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
例2、. paper51.com 解：将不等式变形为 copyright paper51.com
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根据不等式性质两边平方可得：移向合并同类项得 ，又 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 将两边平方得： ① paper51.com 又原不等式成立，有 paper51.com 即 ② paper51.com 联立①②得：，故原不等式的解集为： 内容来自www.paper51.com
评析：此种类型的不等式，不等号两边都有根式，通过相应的变形，可以很 copyright paper51.com 容易判断其符号及其大小关系，因此可以采用两边平方或者等价转换化无理不等式为有理不等式或不等式组来求解。 paper51.com
例3、解不等式. copyright paper51.com 解：由原不等式得，解得，再将原不等式分子有理化得，即，显然 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
去分母并整理得：，① 内容来自www.paper51.com 当时，不等式①显然成立，在此定义域内原不等式恒成立，故原不等式的解集为：。 paper51.com 评析：以上解法避难就易，利用分子有理化将分母由符号不确定到恒正，从 内容来自www.paper51.com
而达到不等式两边可同乘以分母的作用。本题“”应特别注意。 http://www.paper51.com 小结：针对一些无理不等式，很容易的就可以判断其符号以及其大小关系,因此可以两边同时平方，从而转化为有理不等式或有理不等式组来进行求解。即常规解法，常规解法解无理不等式，是我们在遇到一个无理不等式时首当其冲想到的一种基本方法，如果能容易的判断一个不等式两边的符号，便可以两边同时平方化无理不等式为有理不等式或有理不等式组来进行求解。但是在中学中我们会遇到一些比较复杂的无理不等式，如果两边平方会使一些式子变为高次幂，显得更加复杂繁琐，因此，我们需要探讨更加直观简便的方法加以求解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 二、数形结合法解无理不等式 copyright paper51.com 例4、解不等式. paper51.com 解：如图2所示：在同一坐标系中，作曲线C：及直线L：.由图2可知和的交点为,又由图2知，曲线C在直线L上方部分图像所对应的函数值满足，即所对应的横坐标范围即为原不等式的解，故原不等式的解为： http://www.paper51.com
小结：由题意知不等式中含有根号，若用常规的方法解此题，需要讨论不等号两边的式子是否大于零，再平方，可是这样会把自变量的次数升高，这给解题带来了一定的困难。但若将代数式子与图形结合起来，就可直观、形象地把解求出来。 paper51.com 例5、(2003年全国高考文科题)解不等式 解：如图在同一坐标中，作曲线：及直线：， 内容来自www.paper51.com 由图3可知和的交点为（0,0）和（2,2），观察图3可知曲线在直线下方的图像所对应的函数值满足所对应的横坐标即为原不等式的解集，故原不等式的解集为：. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例6、解不等式 copyright paper51.com
解：设和 并在同一坐标系下作出相应的图 copyright paper51.com 像，且联立得交点的横坐标为5，如图4所示。由图 paper51.com 像可知的图像在图像的上方部分所对应的横坐标满足原不等 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 式，即原不等式的解集为：. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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