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有一道根号不等式证明题： 设a，b 均为正数，且a+b=1，求证： copyright paper51.com 证法一：设成立 copyright paper51.com 则 paper51.com ∴ copyright paper51.com
∵，上式可化为 http://www.paper51.com 只需证明 http://www.paper51.com 又∵a，b＞0， a+b＞1，则1=a+b≥即 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ∴显然成立，以上每一步都可以逆推，故原不等式成立。 内容来自www.paper51.com
评 析： 显然目标不等式中含有根式，且不等号的两端都是正的，我们尝试先平方、合并，后进行化简，逐步寻求不等式成立的充分条件，采用分析法来证明。分析法证题的关键是寻求不等式成立的充分条件，因此，要经常对原不等式进行化简，常用的方法是：平方，合并，有理化，去分母等，但要注意所做的这些变形是否可以逆推，若不能逆推则不可用。在该证明中一定要注意a，b均为正数。 http://www.paper51.com
证法二∵ 内容来自www.paper51.com http://www.paper51.com
内容来自www.paper51.com 评析：本证法是利用平方结合添项，由于的右边 化简后是一个有理式且a，b系数均相同，故易添上 ，在本证法中应当注意的是在不等式的两端所添的项必须是正数，才能保证不等号的方向不变。通过证明的过程可以看出，此证法非常的简捷，巧妙。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
证法三：由，可设 copyright paper51.com
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内容来自论文无忧网 www.paper51.com 评析：本证法采用了平均值代换，设出，目的在于把简化为只含有一个未知数的代数式，再对此代数式求其最值，在进一步证明。平均值代换首先要从已知条件入手，如果已知条件满足这种代换时，它也是证明不等式常用的一种方法。 copyright paper51.com 证法四：由 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 评 析：在解题时，正确、迅速地把握解题的“切入点”是十分重要的，而“切入点”的选择，一方面要依靠对题设的分析；另一方面来自解题的经验。在本证明中已知条件是最好的“切入点”，由于a+b=1恰好满足三角关系，联想到代换形式，则可设进行推理证明。 注意在本证明 中 a，b均为正数与角的取值范围无关。 http://www.paper51.com
证法五：由 可知 paper51.com
内容来自www.paper51.com 设 内容来自www.paper51.com
paper51.com copyright paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 评 析： 此证法与证法5相同都是采用三角代换加于证明。所不同的是所采用代换形式不同而且此证法不是直接由已知条件利用三角关系，该种方法从已知条件着手，凑项使出现题中的代数式2a+1，2b+1，在进一步化简成为 ，恰好满足三角关系，利用代换形式,，则可设 ，经过化简可把目标不等式的左边化为同名三角函数的形式，其最大值即可证明。在此证法中要注意角的取值范围。三角代换也是证明不等式的一种很好的方法。 paper51.com
证法六： 内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自www.paper51.com paper51.com |