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讨论： (1)当为有理数 copyright paper51.com 对于任意的，任取， http://www.paper51.com
http://www.paper51.com 因此在有理点上半连续 copyright paper51.com 又因当对于任意，当为无理点，且 内容来自www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所以在有理点不下半连续 copyright paper51.com (2) 当为无理数 copyright paper51.com 因为当，对于任取，当为有理点，且 paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 因此在无理点不上半连续 paper51.com 又因对任意的，对于任取， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所以在无理点下半连续 http://www.paper51.com
所以Dirichlet函数在有理点上半连续，但不下半连续；在无理点下半连续，但不上半连续。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例2：设 http://www.paper51.com
讨论： 内容来自www.paper51.com (1) http://www.paper51.com (2)当 http://www.paper51.com 对任意的，对于任取， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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又因为，对于任取，当，且 http://www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所以函数在处上半连续，但不下半连续。 paper51.com 2.半连续函数的基本性质： copyright paper51.com 定理3：若与在上上（下）半连续，则+也在上上（下）半连续。 http://www.paper51.com
证明：由上半连续函数的定义知： 内容来自www.paper51.com http://www.paper51.com http://www.paper51.com 所以 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 故+在上上半连续 paper51.com 同理可证另一种情形。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 定理4：若在上上（下）半连续，则在上下（上）半连续。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证明：由上半连续函数的定义知： paper51.com
有 http://www.paper51.com paper51.com 在不等式两边同时乘以-1得：，即： paper51.com
有 内容来自www.paper51.com
http://www.paper51.com 所以在上是下半连续的。 copyright paper51.com 同理可证另一种情形。 paper51.com 定理5：若在函数>0及>0，且上半连续（或<0及<0，且下半连续），则它们的积在上为上半连续的。若>0上（下）半连续，<0为下（上）半连续，则为下（上）半连续。 内容来自www.paper51.com 证明：10因为，在上上半连续，由上半连续的定义知： http://www.paper51.com
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内容来自论文无忧网 www.paper51.com 因为>0, >0,则 copyright paper51.com
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内容来自www.paper51.com 可得： 内容来自www.paper51.com
所以 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
20因为在上上半连续，下半连续，由上（下）半连续的定义知： copyright paper51.com 内容来自www.paper51.com 内容来自www.paper51.com ① 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ② copyright paper51.com 所以③ 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
由于>0，，①•③则： 内容来自www.paper51.com http://www.paper51.com
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内容来自www.paper51.com 可得：在上为上半连续。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
所以：在上为下半连续。 http://www.paper51.com 同理可证另一种情形。 copyright paper51.com
定理6：若在上>0上（下）半连续，则在上下（上）半连续。 paper51.com 定理6的证明见后文的例5。 http://www.paper51.com
推论：若在上>0，且是上半连续函数，<0，且是下半连续函数，则： paper51.com （1） http://www.paper51.com （2）是上的下半连续函数 内容来自www.paper51.com 定理7：（保号性）上半连续函数有局部保负性（即：若在处上半连续，f()<0,则）；同样下半连续有局部保正性。 copyright paper51.com 证明：因为在处上半连续，有上半连续的定义知： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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paper51.com 因为 内容来自www.paper51.com
即：<0 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所以上半连续函数有局部保负性。 copyright paper51.com 同理可证另一种情形。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例3：讨论函数的保号性 http://www.paper51.com
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