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根号下含有未知数的方程叫做无理方程，也叫做根式方程。无理方程是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种，也是中学数学教学中一个难点。它的一般解题思路是：先把无理方程转化为有理方程，然后解此有理方程，最后将未知数的值代入原方程中检验。而由于无理方程形式的多样性，决定了其转化过程的各异性，仔细观察方程的特点，从多种角度思考，认真挖掘其解法，找出最佳解法，避免许多繁杂的运算的同时可活跃学生的思维，培养学生的数学化归的思维能力，提高解题能力。下面就按根式的多少及所在位置分四类来例举12个不同类型的无理方程的常见解法，涉及到的方法有乘方法、非负数法、提取公因式法、去分母法、配方法、代换法、算术根定义法、公式法、辅助法、分母有理化法、和分比定理法、换元法等。 内容来自www.paper51.com
一、 含有一个根式的无理方程 内容来自www.paper51.com
例1： 内容来自www.paper51.com
分析：方程中只含有一个根号，可以将-x移至方程的右边，然后将所得方程的两边同时平方去根号化为整式方程求解。 copyright paper51.com
解：将原方程移项变形为 copyright paper51.com
， 内容来自www.paper51.com 两边平方去根号得 http://www.paper51.com copyright paper51.com 解这个方程 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
， paper51.com （x-2）（x+1）=0, 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 即：， http://www.paper51.com
经检验，2为原方程的根，-1为增根， paper51.com 所以原方程的根为2。 内容来自www.paper51.com
小结：乘方法为解无理方程最基本的一般解法，即将无理方程移项使等号的一边只含有一个根式，然后在等号两边同时乘方将无理方程化为有理方程求解。对于方程中只含有一个根号的无理方程我们常用此乘方法来转化求解。 copyright paper51.com 例2： +x+2x=14 内容来自www.paper51.com
分析：此方程只含有一个根号，常规的解法是先移项，平方化为有理方程求解，但该方法会使未知数的次数出现高次，使方程复杂化，使求解过于繁琐。通过观察可看出该方程用配方法简化以后再运用常规方法求解比较简单。 内容来自www.paper51.com 解：方程两边同时加上2，得 http://www.paper51.com
+x+2+2x=16, paper51.com (x+)=16, paper51.com 两边开平方 x+=, paper51.com 得下面两个方程： paper51.com x+=4 (1) http://www.paper51.com 或x+=-4 (2) http://www.paper51.com 解方程（1）：移项得：=4-x 内容来自www.paper51.com
两边平方得：x+2= 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
解这个方程得=2，=7， http://www.paper51.com 解方程（2）：移项得：=-4-x copyright paper51.com
由算术根的性质， 得-4-x， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 即x-4，而当x-4时无意义， 内容来自www.paper51.com
因此方程（2）无实数解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 经检验=7是增根，=2是方程的根。 paper51.com ∴原方程的解是2。 http://www.paper51.com 小结：像例2中的一些具有特殊结构特征的方程我们用除了乘方法来求解外，还可以应用配方法来简化求解，乘方法是解无理方程的基础，而配方法则将方程简化，本例题中还涉及到负数没有算术平方根的知识。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 总结：无理方程的基本解法是把无理方程的两边经过数次乘方后去掉根号使它变形为有理方程，然后解这个有理方程。对于方程中只含有一个根号的无理方程我们常用此乘方法来转化求解，但有的特殊无理方程还可以用配方法的方法等方法来求解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com |