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引言 不等式的证明是高中数学教学的一个难点，同时是高考的一个重点。由于结构形式不同，其证明方法灵活多样，且技巧性强。抓住各种证明不等式的方法的关键，有利于教师教学，更有利于学生正确的证明不等式。 http://www.paper51.com 所谓证明不等式，意在推出这个不等式对其中字母的所有允许值都成立或推出数值不等式成立[1]。不同的不等式，其证明方法往往多种多样，常见的证明方法有：比较法、分析法、综合法，但仅掌握这三种方法是不能解决所有不等式的证明问题的,因此,需要寻找更多的证明方法。下面介绍不等式证明中的几种非常规方法:反证法、放缩法、换元法、构造法，有了这几种方法，做不等式证明的题就能更加灵活。而在什么样的条件下，适合使用哪种方法，有一定的技巧，通过下面的例子来说明。 内容来自www.paper51.com 一、反证法 内容来自www.paper51.com 原理: 先假设要证明的不等式的结论的反面成立，然后从假设出发进行合理正确的推证，最终推出与已知条件或已知真命题相矛盾的结论，即可肯定假设错误，进而确定要证明的不等式成立。凡涉及到证明的不等式为否定性命题、唯一性命题, 或者是含“至多”、“至少”、“唯一”等字眼的命题时, 直接证明往往很困难，可考虑使用反证法, 即“正难则反”。 http://www.paper51.com
例1：已知都是小于1的正数，求证：三数中至少有一个不大于。[2] paper51.com 分析：由于此题从已知条件出发很难直接证明，而题知出现了“至少”这样的字眼，从反证法的原理出发，我们可以考虑用反证法。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com
paper51.com 分析:此题直接由结论出发,需要证明两种情况，即大于和小于的情况，若考虑用反证法由其反面入手,只须考虑小于的情况,比直接证明简单。只要结论的反面不成立，即可推出原不等式成立。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证明：假设不等式的反面成立，即： 内容来自www.paper51.com
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二、放缩法 http://www.paper51.com 放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式的一种常用方法，技巧性比较强。在证明不等式时常采用的放缩法技巧有： copyright paper51.com
① 舍去一些正项（或负项）； 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ② 在和或积中换大（或换小）某些项； 内容来自www.paper51.com ③ 扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 分析：此题左边复杂，右边简单，因此可以考虑由左边向右边化简证明。而左边是n个分式的乘积，可分开考虑每一项，我们知道 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 把这n个不等式左边和左边、右边和右边分别相乘可得出： paper51.com
（1）这个不等式的左边已和我们要证明的结论的左边相符，右边不同，而要证明的结论的右边有根式出现，可能是开方的结果，因此可试图在（1）式右边的分母中构造出（1）式的左边，则有开方的可能，进而有要证明的结论出现。 paper51.com
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内容来自www.paper51.com 常用结论有：； http://www.paper51.com
； paper51.com 。 http://www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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