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已知函数 http://www.paper51.com （I）求在区间上的最大值 copyright paper51.com （II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 copyright paper51.com 解析：（I）配方研究区间和对称轴的位置关系切入， 当即时，在上单调递增， paper51.com
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当即时， http://www.paper51.com 当时，在上单调递减， paper51.com 综上， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。借助导数解决。 paper51.com http://www.paper51.com 当时，是增函数； 内容来自www.paper51.com 当时，是减函数； copyright paper51.com 当时，是增函数； http://www.paper51.com 当或时， http://www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 当充分接近0时，当充分大时， copyright paper51.com 要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 paper51.com 即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为 内容来自www.paper51.com
评析：本题主要考查函数的单调性，极值，最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程，数形结合，分类与整合等数学思想方法和分析问题，解决问题的能力。但本题切入点还是我们的一元二次函数，是二次函数在区间上的最值问题。 内容来自www.paper51.com
三、二次函数实根分布问题： 内容来自www.paper51.com 二次方程的实根分布及条件： paper51.com （1）方程的两根中一根比大，另一根比小 内容来自www.paper51.com
（2）二次方程的两根都大于 http://www.paper51.com （3）二次函数在区间内有两根 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （4）二次方程在区间内只有一根. paper51.com
在解决函数实根分布时，我们要把函数的图象与方程的两根的分布联系起来，能使问题更清晰。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
例5．（2006年浙江卷，理科） copyright paper51.com 设若 内容来自www.paper51.com 求证：（I）且 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
（II）方程在内有两个实根。 paper51.com 解析：（I） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
由条件，消去 http://www.paper51.com 由条件，消去 http://www.paper51.com 故： copyright paper51.com （II）抛物线的顶点坐标为 paper51.com 在的两边乘以得：. copyright paper51.com 又而 http://www.paper51.com
方程在区间与内分别有一实根，故方程在内有两个实根。 http://www.paper51.com 四、利用二次函数解数列题： copyright paper51.com 等差数列的前项和 copyright paper51.com
，令，则，可看成是关于的一元二次函数，其图象是过，开口方向取决于的符号，而点是其图象上的一些孤立点。利用一元二次函数图象及其性质解决一些与等差数列前项和相关问题可以大大简化计算。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
例6．一个等差数列首项为正数，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前项的和最大时，等于（ ） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com A、5 B、6 C、7 D、8 paper51.com 解析：该等差数列首项为正数，故其前项和的图象是过点且抛物线开口向下，如图所示：由知点关于抛物线的对称轴对称，所以由对称轴为＝7的抛物线图象可知，是的最大值，故选C。 copyright paper51.com 五、有关二次函数的综合题： http://www.paper51.com
二次函数综合题比较多的，主要在平面几何中，应用题中比较多，二次函数作为抛物线，可以联系其他平面曲线讨论相互之间的关系，也可以利用一元二次函数性质解决圆锥曲线的问题。 内容来自www.paper51.com 例7（2004上海卷、文科） 内容来自www.paper51.com
如图，直线与抛物线交于A、B两点，线段的垂直平分线与直线交于。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （1）求点的坐标； 内容来自www.paper51.com （2）当为抛物线上位于线下方（含点 paper51.com 解析：（1）解方程得， 内容来自www.paper51.com 即，。从而的中点为，由，得线段的垂直平分线方程令得 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （2）直线的方程为。设，点到直线的距离， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自www.paper51.com 为抛物线上位于线段下方的点，且不在直线上， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 函数在区间上单调递增，且当时，当时，。 copyright paper51.com |