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一、 引 言 在射影几何学中，共线点（共点线）是一个重要的研究对象，Pappus定理、Desargues定理、Pascal定理是射影几何学中用来证明点共线（线共点）的三大定理，也是射影几何学的一大灵魂，支撑着射影几何的公理体系。 http://www.paper51.com
Pappus定理： 内容来自www.paper51.com 若A1，B1，C1和A2，B2，C2为共面二直线上的两组共线点，若B1C2和B2C1交于L，C1A2和C2A1交于M，A1B2和A2B1交于N，则L、M、N必共线。（见图1） 内容来自www.paper51.com
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图1 copyright paper51.com
Desargues定理： 内容来自www.paper51.com 若两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必共线。 copyright paper51.com Desargues定理的逆定理： http://www.paper51.com 若两个三点形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线共点。（见图2） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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内容来自论文无忧网 www.paper51.com 图2 http://www.paper51.com Pascal定理：对于任意一个内接于非退化的二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。（见图3） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 图3 paper51.com 在Pascal定理中，研究的只是“内接于非退化二阶曲线的简单六点形，它的三个对边点共线”这一命题，但若“简单六点形”延展到“完全六点形”呢？Pascal定理中（包括高等几何中）并未涉及这个问题。一般情况下，内接于非退化二阶曲线的完全六点形的六个对边点是不会六点共线的，那有可能共线吗？若可能，又是在什么条件下？这一系列问题在本文中将得到解决。 http://www.paper51.com 二、 Pappus定理的一个推论 http://www.paper51.com
引理：Pappus线过两底交点的充要条件是两点列对应点的连线共点。（1） http://www.paper51.com 推论：A1，B1，C1和A2，B2，C2为共面二直线上的两组共线点，其对应点连线共点于O，若A1C2交A2B1于点D，B1C2交A2C1于点G，A1B2交A2C1于点H，A1C2交B2C1于点J，则DG与HJ的交点F也在Pappus线上。（见图4） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 图4 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证明：∵A1A2、B1 B2、C1 C2 三线共点于O http://www.paper51.com 据引理，Pappus线LMN过E点 http://www.paper51.com 在三点形A1B1D和A2B2H中 内容来自www.paper51.com 对应边 B1D ∩B2H = N http://www.paper51.com A1D ∩ A2H = M 内容来自论文无忧网 www.paper51.com A1B1 ∩ A2B2 = E 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
∵N、M、E三点共线 内容来自www.paper51.com
据Desargues定理的逆定理可知： paper51.com 两三点形对应顶点连线A1A2、B1 B2、DH三线共点于O http://www.paper51.com 同理可证：B1 B2、C1 C2、GJ三线也共点于O paper51.com ∴ B1 B2、DH、GJ三线共点于O 内容来自www.paper51.com 在三点形B1DG和B2HJ中 http://www.paper51.com 对应边 B1D∩ B2H = N http://www.paper51.com B1G ∩ B2J = L copyright paper51.com
DG ∩ HJ = F copyright paper51.com 而两三点形对应顶点连线B1 B2、DH、GJ三线共点 http://www.paper51.com 据Desargues定理可知：N、L、F三点共线 http://www.paper51.com
即DG与HJ的交点F在Pappus线上 内容来自www.paper51.com
证毕。 paper51.com |