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（一） 欧拉公式法 paper51.com
对于初值问题（1），对其可积区间[]进行等分，步长为，对应的离散节点为： 内容来自www.paper51.com
（） http://www.paper51.com 由于初值问题（1）是适定的，因此求该初值问题在离散点处的解析解，即为在平面上的一族满足方程的积分曲线中找出过点的那一条，进而求出点的坐标。但是积分曲线是未知的，我们仅仅知道这条曲线在处的切线的斜率为，当很小时，用过点的点斜式直线方程在处的值来近似代替，即 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 得到近似值后，过点又有一条积分曲线，用同样的方法可以确定依次类推，得到的递推公式： copyright paper51.com （） （2） copyright paper51.com （2）式就是欧拉公式。 copyright paper51.com 对于欧拉公式法，若步长不是很小时，随着步数增加而产生的累积误差较大，即用欧拉公式法计算出的结果的精度较差，故不很实用（但在解不很光滑的情况下有时只能用它）。即便如此，它的一些特性和研究方法对于更复杂的方法具有普遍意义。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 欧拉公式还可以用下面几种不同的方法导出： 内容来自www.paper51.com
1．用一阶向前差商代替一阶导数，即： 内容来自www.paper51.com （3） http://www.paper51.com 记，分别是，的近似值，即得到欧拉公式（2）。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 2．对于，在上两边积分得： 内容来自www.paper51.com （4） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 对（4）式中的积分采用左矩形积分公式得到（3）式，进而得到（2）式。 paper51.com 3．假设函数具有二阶连续导数，利用泰勒公式将在处展开得， 内容来自www.paper51.com
， （5） http://www.paper51.com 略去上式中的项后也得（3）式，进而得（2）式。 paper51.com 在欧拉公式中，计算的值只用到前一步的，称这样的方法为单步法。因此，欧拉公式法就是单步法，单步法的一般形式为： paper51.com
（…），其中称为增量函数。 paper51.com |