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. (6) 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 对上式两边关于求导,得 内容来自论文无忧网 www.paper51.com . (7) 内容来自www.paper51.com 将(6)和(7)代入原方程组的第一个方程得 内容来自www.paper51.com . http://www.paper51.com 这是一个二阶常系数线性微分方程[5],易求出它的通解为: copyright paper51.com . (8) copyright paper51.com 将上式代入(6)得 内容来自www.paper51.com
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故原方程组的通解为: 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
其中是任意常数. paper51.com 注:上面我们把(8)代入(6)经过求导,而没有经过求积分就求出了,如果把(8)代入原方程组中的第一式,得 http://www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 这是一个一阶线性非齐次微分方程,可求得它的通解为 copyright paper51.com
. (9) paper51.com
式(9)中出现了三个任意常数,这与前面求得的结果不一致,事实上,当我们把(8)及(9)代入原方程组便可发现,当且仅当时,(9)才能成为方程组的解,故(9)不一定是所求方程组的通解,其中有可能是一个多余的任意非零常数，由它引出了多余的解(即增解).因此为了避免出现增解,在求出一个未知函数后,不要再用求积分的方法来求其余的未知函数. paper51.com 首次积分法[2] copyright paper51.com 这种方法是将常系数线性微分方程组经过适当地组合,化为一个可以积分的微分方程,这个方程的未知函数可能是方程中几个未知数的某种组合形式,通过积分这个方程就得到未知函数的组合形式的方程,就是一个原方程组的首次积分.对于一个n阶常系数线性微分方程组，如果求得其中n个函数无关的首次积分，那么就可以得到该方程组的通积分 内容来自www.paper51.com |