|
故。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
注：1、证明方程在某开区间内至少有一个根时，除了用根的存在性定理以外，还可以用中值定理，尤其是等号一边为零，另一边的函数可以看成某个函数的导函数时，可用罗尔中值定理如例1、例2。在用中值定理时，一般地要将证明的等式进行整理，并从此出发构造合适的辅助函数，然后验证其符合定理，从而完成证明。 内容来自www.paper51.com 2、在利用罗尔中值定理证明等式时，由于，故其在构造辅助函数中有时起到“调节因子”的作用，如证方程在某区间内至少有一个根，并需引进辅助函数，可优先考虑， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 如例2引入辅助函数 内容来自www.paper51.com 2、拉格朗日中值定理：设在上连续，在内可导，则至少存 copyright paper51.com 在一点使得：=。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 几何意义: copyright paper51.com
http://www.paper51.com 上述等式可变形为，等式右端为弦AB的斜率, 于是在区间上不间断且其上每一点都有不垂直于轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点的切线平行于弦AB. 当时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理. 内容来自www.paper51.com 分析与证明：弦AB的方程为 曲线减去弦AB，所得曲线AB两端点的函数值相等. 作辅助函数 paper51.com
paper51.com 于是满足罗尔定理的条件，则在 内至少存在一点， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 使得. 内容来自www.paper51.com 又, 所以 内容来自www.paper51.com 即在内至少有一点， http://www.paper51.com 使得.证毕 内容来自www.paper51.com 说明: 1. 又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此公式对于也成立; copyright paper51.com
推论1 若函数在区间上可导，且，则为上的一个常量函数。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
推论2 若函数和在区间上可导，且，则在区间上与只差一个常量。 paper51.com
推论3设函数在点的某邻域内连续，在可导，且极限存在，则在点可导，且。 copyright paper51.com
paper51.com 例1、设，证明：，使得。 copyright paper51.com
证：将上等式变形得： copyright paper51.com
作辅助函数， copyright paper51.com 则在上连续，在内可导， paper51.com 由拉格朗日定理得： http://www.paper51.com ， 内容来自www.paper51.com 即 ， 内容来自www.paper51.com 即： 。 paper51.com 例2、试问如下推理过程是否正确。对函数在上应用拉格朗日中值定理得： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 即： copyright paper51.com 因，故当时，， copyright paper51.com 由 copyright paper51.com 得：，即 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 解：我们已经知道，不存在，故以上推理过程错误。 copyright paper51.com 首先应注意：上面应用拉格朗日中值的是个中值点，是由和区间的 http://www.paper51.com
端点而定的，具体地说，与有关系，是依赖于的，当时，不 http://www.paper51.com 一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使成 内容来自www.paper51.com 立，而中要求是连续地趋于零。故由推不出 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
copyright paper51.com
例3、证明：成立。 内容来自www.paper51.com 证明：作辅助函数，则在上连续，在内可导， copyright paper51.com |