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前 言 换元法是一种设辅助未知数的方法，一般它是用一个字母表示一个代数式（或其他式子），从而可以把要求解的问题简化。在中学数学学习阶段，换元法在因式分解，解方程和方程组等方面占有重要地位。这里我仅结合中学的一些代数知识来谈一谈它在解方程和方程组中的运用。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
一、换元法在求解高次方程中的运用。 http://www.paper51.com 对于解高次方程，我们一般采取的策略都是“降次”，而换元法就是实现“降次”的一个有效的方法，因而我们常常使用换元法把高次方程“降次”，将一元高次方程变形为一元二次方程，再解这个一元二次方程并将其解代入所设的关系式中，即可求出原方程的解。 paper51.com 例 1、 解方程 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
解：首先我们观察因式（x+7）, (x+8) , (x+4) , (x+5) 的平均因式为x+6, 因此令M = x+6 http://www.paper51.com 然后将M = x+6 代入原方程并加以合并，其结果为： paper51.com
paper51.com 展开再化简得： 内容来自www.paper51.com ，再令= N ，则上式可变形为： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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代入一元二次方程的求根公式得： 内容来自www.paper51.com
代回则，若取， 两边平方得： copyright paper51.com 若取 ，两边开方得 内容来自www.paper51.com 再代入M = x+6 paper51.com paper51.com 评析： 解决的关键就是运用两次换元。第一次令M = x+6是运用了“平均值代换”，通过此代换使化简步骤大大的得到简化。从而，使一个看似很复杂的高次方程很容易地化为一元四次方程。第二次，换元令 ，这样就很巧妙地把一个一元四次方程通过“降次”变为一个一元二次方程，通过一元二次方程的求根公式即可求出N 的值，对于这道题，把N 的值求出来，接下来只需要把N 的值代入, M = x+6这两个式子很快可以求出x 。 paper51.com 例2 、解方程 http://www.paper51.com 分析：显然这是一个关于x 的4 次方程，不易求解，但方程中仅有x 与常数2两数，且2 的最高次数是2 次，我们不妨变一下角色，将x 视为常数，2 视为变元，尝试一下，会产生怎样的效果。 paper51.com 解：设2= y , 则原方程可化为 paper51.com
paper51.com 整理为关于y 的一元二次方程 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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由求根公式得: 内容来自www.paper51.com 内容来自www.paper51.com 即 http://www.paper51.com 得 或 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 再解这两个关于x 的一元二次方程，得： copyright paper51.com
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评析：例2 在换元时，所采用的是“常量代换”，通过令2 = y ，很巧妙的把原方程变形为以y 为未知数，以含有 x 的代数式为系数的一元二次方程，通过求根公式，间接得到了两个关于x的一元二次方程，最终通过求根公式求出x 的值。 内容来自www.paper51.com 可见，换元法对于求解高次方程是一种非常有效的方法。 copyright paper51.com paper51.com |