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1.引言 近年来，随着对混沌及其他一些非线性现象的广泛研究，非线性动力学从深度到广度上都以空前的速度蓬勃发展。自从1963年，Lorenz在三维自治系统中发现了第一个混沌吸引子——Lorenz系统以来，人们不断地发现新的系统，从而不断地加深与统一对混沌系统的理解和认识。2002年吕金虎等采用线形反馈控制方法控制Lorenz混沌系统而发现了一种从Lorenz混沌系统过渡到Chen混沌系统的临界混沌系统—Lü混沌系统[1]。它为Lorenz系统Chen系统架了一道桥梁，实现了从一个系统到另一个系统的过渡。 paper51.com Lü系统是当Lorenz系统的参数不在混沌区域，及其状态是非混沌的时候，如何利用反控制的基本方法和技巧来强迫Lorenz系统产生混沌。吕金虎教授率先做出了这种解析性尝试。使得受控而当前非混沌的Lorenz方程变成下列混沌的Lü系统，即 paper51.com （1） http://www.paper51.com
其中a、b、c为可变参数，叫相对瑞利数，称为普兰德中尔数，称为形状参数。 内容来自www.paper51.com Lü系统比Lorenz系统具有更复杂的拓扑结构和动力学行为[2]，这使得它在信息加密和保密等领域有着更广阔的应用前景[3]。所以自2002年吕金虎发现并建立这一系统以来，引起了很多物理学家的关注。对Lü系统进行了若干研究，控制Lü方程的参数来研究微分方程组是一种最为有效而易行的办法。通过控制参数来研究方程组的吸引子和相关相图[4]，从而来研究Lü动力学系统动力学行为，利用Matlab[5、6]语言模拟出Lü吸引子及其响应分岔图，使此系统动力学行为更为直观。希望使Lü系统的动力学行为的研究更能进一步。 内容来自www.paper51.com 本文包括四部分内容：第一部分分析了Lü系统的动力学行为，对此系统的基本动力学行为作了分析；第二部分用Matlab语言模拟出Lü吸引子及其响应图；第三部分对Lü吸引子分析；第四部分简述Lü混沌系统在Lorenz混沌系统与Chen混沌系统的桥梁作用。 copyright paper51.com 2．Lü系统的动力学分析 copyright paper51.com 2.1对称性和不变性 http://www.paper51.com
系统（1）关于z轴具有对称性，即它在如下变换下保持不变 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （x,y,z）（-x,-y,z） （2） paper51.com
为方便起见，我们将方程（1）改写成向量的形式： （3） copyright paper51.com 其中，X=(x,y,z),(X)是方程（1）右边的函数。变换方程（2）可以记为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （4） 内容来自www.paper51.com
且满足 内容来自www.paper51.com （5） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 这个对称性将直接影响系统的许多动力学行为。例如，它的轨道在相平面上的投影，变量x和y的部分关于原点是对称的，而且，它还可能影响系统平衡点的叉式分岔和周期解分岔。另外z轴本身就是系统的一条轨迹，即若t=0时有x=y=z=0，则对所有的t＞0都有x=y=z=0。更进一步，当t→∞时，z轴上所有的轨迹均趋于原点。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com |