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1．引言 近几十年来，许多数学物理学家已经发现了许多有效的求非线性方程精确解的方法，如双曲正切函数展开法、齐次平衡法[1-4]、Jacobi椭圆函数展开法[5]、F-展开法[6-12]、Bäcklund变换法[13]、Darboux变换法、反散射方法[13]、Hirota双线性变换法[13]、试探函数法、非线性变换法、sine-cosine方法等。其中F-展开法是Jacobi椭圆函数展开法的总结和概括。 paper51.com 在流体力学中，Davey-Stewartson方程描述了有限深度的水中长波和短波的运动，许多学者对它进行了研究，得到了许多有价值的成果，如在等离子物理领域已有了应用[28-32]。从最近戴正德教授等著的《戴维—斯特瓦尔松方程》[13]一书，我们可以系统了解40余年来国内外学者对Davey-Stewartson方程的研究情况。 paper51.com Davey-Stewartson方程是可积系统，具有孤立子、线状孤立子、周期孤立子、N-孤立子、envelopehole（包络—空穴）解、dromions解（局部孤立波）、solitoff解（半无穷孤立波）和双周期解等，孤立子的显式表示和相互作用是重要的研究课题。求解Davey-Stewartson方程孤立子解的方法有以下几种：Darboux变换法、Hirota双线性变换法、双孤子法、逆散射法、谱变换法、齐次平衡法、F-展开法Theta函数法和双曲函数展开法。 内容来自www.paper51.com
本文是选择最近发展起来的F展开法来研究Davey-Stewartson I方程的周期波解,并且在极限的情况下,得到了方程的孤波解和其它类型的精确解，利用Maple [24]软件对周期波解作图。 paper51.com 本文包括五部分内容：第一部分介绍了Davey-Stewartson方程的物理背景；第二部分介绍F-展开法；第三部分是F-展开法求Davey-Stewartson I的周期波解；第四部分是周期波解的计算机模拟。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 2.Davey-Stewartson方程 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 20世纪70年代中期，A. Davey和K.Stewartson研究描述有限深水中波数为k的三维曲面波包的发展模型，导出一类偶合方程，称之为戴维—斯特瓦尔松（Davey-Stewartson）方程。之后，Davey，Stewartson和Hocking在研究平面Poiseuille流的三维扰动的非线性发展时导出了同一模型。1977年，考虑到水波表面的曲面张力效应，Djordjevic和Redekopp进一步改进和完善了上述模型。与此同时，Ablowitz,Haberman, Morris和Cornille在研究非线性Schrödinger方程推广到二维空间的完全可积系统时独立地推导出特殊的Davey-Stewartson方程[13]。 paper51.com Davey-Stewartson（简称DS）方程是由复振幅变量和实平均速度势变量耦合的(1+2)维非线性偏微分方程组。由于曲面张力效应的不同，就空间变量的特征而言，DS方程可分为椭圆—双曲型（DSⅠ）、双曲—椭圆型（DSⅡ）、椭圆—椭圆型、双曲—双曲型等四类。基于此，DS方程既具有一般二阶耦合组的共同特征，同时又具有特殊复杂性，因此从模型建立以来，引起了很多数学物理学家的关注。40多年来，在方程初始问题解的适应性、解的爆破、孤立子解、周期孤立子解及其共振、envelope-hole解、dromions解、solitoff解、双周期解、同宿筒解、异宿筒解以及扰动DS方程在无穷维空间的性态等方面开了深入的研究，取得了丰富的研究成果，出现了许多求解问题的新思想、新方法和新技巧，探寻了DS方程所特有的解的复杂结构，提示了该方程所描述的物理现象的复杂性。其中，一些结果是我国科学工作者的原创性成果[13]。 内容来自www.paper51.com
Davey-Stewartson方程（简称DS方程）是流体力学中的一类重要的偏微分方程组，具有丰富的物理背景和内涵，是Davey、Stewartson在研究有限深度水面上三维波包的发展情况而推导出来的[13,14]。其表示式如下： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自www.paper51.com http://www.paper51.com 其中，表示水波的振幅，是的复函数；表示水波的传播速度，是的实函数；、、为常数；。当时，称为DSⅠ方程；。当时，称为DSⅡ方程。 paper51.com
Davey-StewartsonI方程形式如下： paper51.com （1）3.F-展开法 http://www.paper51.com
考虑如下形式的非线性方程 内容来自www.paper51.com
（2） 内容来自www.paper51.com 在这里，方程（2）的左边是及其导数的多项式。 http://www.paper51.com 令方程（2）有如下形式的解 paper51.com （3） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 其中k,w是待定非零常数，为任意常数。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 将方程（3）式代入方程（2）中，得到关于的微分方程 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
（4） paper51.com 其中，等等。 内容来自www.paper51.com 令表示成如下的有限级数形式 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （5） http://www.paper51.com 其中为待定常数，满足如下形式的一阶微分方程 内容来自www.paper51.com
（6） http://www.paper51.com 在这里为实常数， 正整数N可由方程（4）中的最高阶导数项和非线性项之间的平衡来确定。 copyright paper51.com 将方程（5）代入方程（4）中，并利用方程（6），则方程（4）的左边可化成多项式，令该多项式的系数为零，得到了关于，（可能含有）的代数方程组。 paper51.com
借助Mathematica或Maple,求解上述代数方程组，可解得参数，（可能含有）（由表示），将上述结果代入（5）式，则可得到方程（2）一般形式的行波解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
利用附录A选择适当的，可得到（2）式的由Jacobi函数表示的周期波解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com |