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1． 引言 内容来自www.paper51.com 偏微分方程的数值解法一般有差分法，变分法及有限元方法，而差分法是最常用最简单的数值计算方法，但差分的方法是多种多样的，因此本论文采用不同的差分方法对偏微分方程进行求解，比如：向前差分，向后差分，中心差分等。差分的格式也是多种多样，比如蛙跳格式，迎风格式，显格式，隐格式等。通过不同的差分方法以及差分格式得到偏微分方程解的稳定性是有差异的，在数值计算的过程中需要将微商用差商代替进行计算，但是很多问题在数学上等价的在物理上并不等价，这样就会导致很多数值计算结果并不稳定。本文主要通过对流扩散方程的求解，对方程的边界条件和初值问题，差分格式的建立以及不同格式的数值解的稳定性进行分析讨论，对流扩散方程的差分变换，向后差商，中心差商等方法的应用，通过将线性方程转化为矩阵方程并对其解进行数值模拟，从而具体讨论对流方程的稳定性。并在此基础上对其它不同差分格式的稳定性进行分析探讨。 copyright paper51.com
对于差分方程的建立及其数值求解，将在文中第二、三部分内容中给出；其内容主要是以对流方程为例，将其进行差商变换，并将得到的差分方程转化为矩阵方程进行数值求解。在解得此方程的基础上，我们将其进行推广，利用不同的差分格式来讨论其数值解的稳定性，而这部分内容将在文中第四部分中给出。 http://www.paper51.com 2.差分方程的建立 http://www.paper51.com 将连续分布的时间，空间坐标离散得到时间，空间网格。设和分别为时间步长和空间步长，这样两族网格线可以写作 内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com
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网格节点，简记为。图一是网格剖分： paper51.com
内容来自www.paper51.com 由于不同方程对应不同差分格式其稳定性也随之不同，下面我们以对流扩散方程为例来讨论其数值解及其稳定性。 内容来自www.paper51.com
3.方程的数值解 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 3．1对流方程 内容来自www.paper51.com
本文以如下的对流方程为例： paper51.com (1) 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 在给定方程的初值条件以及边界条件的情况下，我们将其作如下变换： http://www.paper51.com 首先，令， 由此得： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com (2) 内容来自www.paper51.com (3) copyright paper51.com 其次，运用差分公式将其作差分，当然有限差分方法种类比较多，在此就以向后差分和中心差分来对对流扩散方程进行差商，即： 内容来自www.paper51.com 用向后差商 代替微商 copyright paper51.com
用差中心商代替微商，由此，得： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com (4) 内容来自www.paper51.com (5) paper51.com 分别将（4），（5）两式带入（2），（3）中便得到了关于时间变量，能量变量的差分格式： paper51.com (6) http://www.paper51.com (7) paper51.com 将（6），（7）两式代入对流方程（1），得： 内容来自www.paper51.com (8)此即为对流方程(1)的差分方程。 http://www.paper51.com
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